'Vector field processings': un plugin Quantum GIS per l'analisi di campi vettoriali 2D

Questo plugin Python per Quantum GIS fornisce una serie di funzionalità per derivare parametri di campi vettoriali 2D, come divergenza, modulo del rotore e linee di flusso. Due esempi di dati su cui sono applicabili queste tecniche sono i flussi glaciali e le colate di frana.

Determinazione di linee di flusso nel ghiacciaio Reeves (Antartide).
Dati periodo 2001-2003, da Biscaro, (2010).

I moduli descritti sono stati realizzati inizialmente come moduli Python o C++ a se stanti, e presentati nei post Un esempio di analisi di campo vettoriale con software open source: il ghiacciaio David (Antartide orientale) (per divergenza e rotore) e Calcolare le linee di flusso in campi vettoriali: due implementazioni open-source in Python e C++ (per le linee di flusso).

In questo post presento alcuni dettagli tecnici del plugin, oltre ai risultati di un test sulla crescita degli errori cumulativi nell'interpolazione di linee di flusso (o più precisamente pathlines), mentre in quello precedente descrivo un esempio di applicazione a dati di flussi glaciali antartici (ghiacciaio Reeves).

Schermata del plugin

I parametri calcolati dal plugin sono elencati nella tabella seguente.

Vector parameters	Magnitude gradients	Pathlines
magnitude	along x axis	pathlines from start points
orientations	along y axis
divergence	along flowlines
curl module

Alcuni operatori su campi vettoriali sono intuitivi, come la magnitudine o l'orientazione del flusso. La loro derivazione è possibile anche con una applicazione delle funzioni standard di map algebra presenti nei software GIS. Più complesse sono le derivazioni del gradiente e del rotore. Si tratta di due operatori fisici che rappresentano rispettivamente la tendenza a espandersi/contrarsi oppure a ruotare di un flusso. Un flusso con divergenza positiva tende ad espandersi, a contrarsi nel caso opposto. Moduli positivi del rotore indicano rotazioni anti-orarie, se negative rotazioni orarie.

Il gradiente spaziale della magnitudine del campo lungo le orientazioni di flusso, come pure lungo le orientazioni degli assi cartesiani, ci informa sulle variazioni di magnitudine sperimentate dai flussi lungo quelle specifiche orientazioni.

Per la derivazione delle linee di flusso sono richieste tecniche più avanzate: si utilizzano metodi numerici per la risoluzione di Ordinary Differential Equations (ODE). Uno fra i più diffusi, grazie all'accuratezza dei risultati prodotti, è il metodo di Runge-Kutta-Fehleberg. Non ripeto qui le formule, presenti in testi di matematica per l'ingegneria (come  Advanced Engineering Mathematics, Kreyszig, 2006), oltre che in rete (fra cui nel post Calcolare le linee di flusso in campi vettoriali: due implementazioni open-source in Python e C++). Con questi metodi è possibile calcolare le linee di flusso sia per flussi stazionari sia per flussi che variano nel tempo.

L'implementazione nel plugin si riferisce al caso più semplice, i flussi stazionari. Una maggiore disponibilità di dataset GIS vettoriali non stazionari renderebbe utile l'estensione anche a campi variabili nel tempo.


Gli errori cumulativi nella interpolazione di pathlines

Il metodo di Runge-Kutta-Fehleberg (RKF 45) è utilizzato, oltre che per la sua accuratezza, anche perchè consente di stimare l'errore connesso al passo temporale utilizzato. 
Considerando che riducendo o aumentando il passo temporale ridurremmo o aumenteremmo l'errore connesso alla stima dello spostamento, è possibile variare il passo temporale in maniera da ottenere un errore stimato prossimo ma non superiore ad una soglia da noi stabilita. Questo errore stimato si riferisce ad ogni singolo passo di interpolazione.

Ma cosa avviene quando noi interpoliamo per 1000, 2000 o più passi successivi? Come aumentano gli errori totali nella stima, e quindi quanto sono affidabili i nostri risultati quanto interpoliamo su lunghi periodi temporali?

Questo è un aspetto a cui accenno in questa seconda parte, utilizzando un esempio analitico di movimento circolare uniforme per il quale posizioni al variare del tempo sono perfettamente predicibili e quindi le posizioni stimate con l'algoritmo sono confrontabili con quelle esatte.
Quanto segue è un esempio che fornisce delle indicazioni su quale possa essere la crescita nel tempo degli errori cumulativi di interpolazione delle posizioni.
Consideriamo un moto circolare uniforme che avviene su un raggio di 100 m, con una velocità tangenziale costante di 200 m/s. Il periodo è quindi di circa 3.14 s.

Campo vettoriale 'circolare' (visualizzato in base alla magnitudine) e pathlines determinate  dal plugin.
Il punto in alto al centro rappresenta la posizione iniziale.

I parametri utilizzati per il test di interpolazione consistono in step di 0.1 s, un tempo totale di 5000 s, ed un errore massimo ammesso per step di 1e-6 m. L'algoritmo modifica la durata degli steps in 0.025 s, per avere errori costanti di 4.0e-8 m. Per raggiungere il limite temporale richiesto di 5000 s il numero totale di step è uguale a 200 000. 


Confrontando i valori stimati di posizione con quelli teorici, vediamo che in prima approssimazione l'errore cumulativo reale cresce in maniera lineare, proporzionale al numero di step. 

Errore cumulativo reale nella posizione al variare del numero di passi di interpolazione (linea arancione).
Il valore stimato di errore per singolo step è rappresentato dalla linea orizzontale (rossa). 

I valori del tasso di crescita dell'errore complessivo (1.4e-9 m/step, vedi figura sottostante) sono di circa un ordine di grandezza più piccoli dell'errore stimato per gli step individuali (4.0e-8 m/step). Il tasso di crescita non è costante, ma presenta oscillazioni, relativamente limitate e di origine non chiara. 
Si può supporre che in prima approssimazione l'errore cumulativo sia inferiore al prodotto tra il numero di step effettuati ed il valore medio stimato dell'errore per singolo step.
Ovviamente questa relazione risulta valida per questo specifico caso di analisi e dovrebbe essere confermata o approfondita per altri casi teorici.

Variazioni dell'errore cumulativo / numero di step di interpolazione.

Pagina di download del plugin

Si trova alla url: www.malg.eu/vectorparameters.php

L'installazione è quella usuale per i plugin per Quantum GIS.

Analisi dei flussi glaciali nella zona di disancoraggio del Reeves Glacier (Antartide)

I flussi glaciali sono un esempio di dati vettoriali che possono essere analizzati con il plugin 'Vector field processings' per Quantum GIS, descritto nel post successivo, che permette di determinare divergenza, rotore, gradienti della magnitudine e linee di flusso.

L'esempio qui presentato si riferisce al ghiacciaio antartico Reeves, che sbocca sulla costa del mare di Ross. I dati degli spostamenti sono stati determinati  nella tesi di dottorato in Scienze Polari di Debbie Biscaro a titolo Applicazioni di metodi di telerilevamento per lo studio dei ghiacciai di Terra Nova Bay e della Cook Ice Shelf, Antartide orientale.

I dati sono stati verificati e interpolati per creare un campo di velocità definito dalle sue componenti v_x e v_y. L'interpolatore utilizzato è la tecnica spline (Regularised Spline with Tension and Smoothing, RSTS, Mitasova & Mitas, 1993, Mitasova et al., 1995), implementata in Grass. I parametri di interpolazione della RSTS sono stati scelti in maniera da ridurre al minimo le statistiche di cross-validation.
Una descrizione più dettagliata della modalità di creazione è presentata in Glacial flow analysis with open source tools: the case of the Reeves Glacier grounding zone, East Antarctica.

I dati interpolati di velocità, come pure il plugin, sono scaricabili dalla pagina: www.malg.eu/vectorparameters.php

Il Reeves Glacier nella zona di confluenza nella Nansen Ice Sheet.
I flussi sono orientati da NW verso SE. I punti rappresentano le misure di spostamento disponibili su un intervallo di 400 giorni nel periodo 2001-2003. La linea di disancoraggio del ghiaccio continentale dal substrato roccioso è rappresentata dalla linea bianca. L'immagine satellitare di base è Landsat (banda pancromatica).

Nelle due immagini sottostanti sono raffigurate i valori della velocità nelle loro componenti x (a sinistra) ed y (destra). Le componenti tendono ad evidenziare la continuità nei flussi lungo la direzione rappresentata dall'asse considerato.

Componenti delle velocità di spostamento lungo l'asse delle x (E-W). L'unità di misura è in m ed il periodo temporale considerato è di 400 giorni (2001-2003).

Componenti delle velocità di spostamento lungo l'asse delle y (N-S). L'unità di misura è in m ed il periodo temporale considerato è di 400 giorni (2001-2003). 

Il primo parametro di interesse è la magnitudine del campo di velocità, che evidenzia i settori con anomalie positive o negative di velocità. Queste sono localizzate soprattutto nella parte nord-occidentale, dove il ghiaccio di origine continentale è ancorato al substrato. Nella porzione orientale il ghiaccio galleggia sulle acque marine e le velocità hanno una maggiore uniformità. Si nota la forte anomalia positiva delle velocità immediatamente a Sud di Andersson Ridge, appaiata ad una anomalia negativa al suo bordo meridionale. Una possibile causa consiste nella presenza di un ostacolo subglaciale che rallenta i flussi in corrispondenza dell'anomalia negativa, costringendo i flussi a nord a scorrere velocemente in una sezione ristretta.

Magnitudine della velocità nella zona di disancoraggio del Reeves Glacier (Antartide).
Gli spostamenti, in m, si riferiscono ad un periodo di 400 giorni (2011-2003).

Il modulo del rotore ed il gradiente sono altri due parametri vettoriali stimabili. Il modulo del rotore evidenzia anomalie longitudinali in corrispondenza delle zone di transizione fra settori con differenti velocità di flusso. L'ostacolo subglaciale precedentemente ipotizzato presenterebbe al suo bordo settentrionale una fascia di anomalie negative (rotazioni orarie) e a quello meridionale una corrispondente fascia di anomalie positive (rotazioni anti-orarie). La lingua del Reeves sarebbe bordata a Nord-Est da una forte anomalia positiva che segnala il limite con il ghiaccio quasi fermo a Nord. A Sud-Ovest di Teall Nunantak  si sviluppa una anomalia negativa.
Anomalie longitudinali ad alta frequenza spaziale sono presenti anche nella zona orientale, dove il ghiaccio è fluttuante. L'esatta natura di queste anomalie (se esse corrispondano a segnali naturali oppure siano artefatti legati alla derivazione ed interpolazione dei dati) è meno semplice da interpretare. Se fossero segnali naturali potrebbero indicare una tendenza alla suddivisione in più sottoelementi longitudinali della lingua, nel momento in cui essa inizia a galleggiare.

Le anomalie nella divergenza ugualmente tendono a concentrarsi in corrispondenza degli ostacoli glaciali emersi e sommersi, ma mentre nel caso del rotore lo sviluppo è laterale a questi e con sviluppo longitudinale, le anomalie di divergenza hanno sviluppo trasversale agli ostacoli e si posizionano a monte o a valle di questi. Un aspetto da notare nel caso della divergenza è che nella zona orientale sono evidenti alternanze di anomalie positive e negative come fasce trasversali ad alta frequenza.

Moduli del  rotore.
Valori positivi indicano rotazioni anti-orarie, positivi rotazioni orarie.   

Divergenza dei flussi glaciali.
Valori positivi indicano espansione, negativi contrazione.  

Il gradiente della velocità lungo le orientazioni di flusso evidenzia le stesse strutture precedentemente descritte, sia quelle a minore frequenza tipiche della zona occidentale, ancorata al substrato roccioso, sia quelle a maggiore frequenza, visibili soprattutto nella porzione orientale, fluttuante nel Mare di Ross.
Anomalie positive marcano la parte frontale della zona con forte anomalia della magnitudine, a Sud di Andersson Ridge, e la parte a valle del probabile ostacolo subglaciale. Quest'ultima corrisponde anche all'inizio di una zona dove il ghiaccio continentale, iniziando a galleggiare, si frattura in blocchi fra loro saldati da ghiaccio marino.

Gradienti spaziali della velocità (magnitudine) lungo le orientazioni di flusso.  Le anomalie positive più sviluppate sono  associate alle morfologie del substrato roccioso a Sud di Andersson Ridge. Nella porzione orientale sono ben evidenti anche fasce di anomalie positive e negative ad elevata frequenza e di natura incerta (se artefatti o segnali naturali). 

Un altro aspetto di interesse è il tragitto percorso da particelle all'interno del campo: il loro nome è pathlines e nel caso di flussi costanti nel tempo esse sono parallele alle streamlines (vedi discussione in Wikipedia).

Il plugin permette di determinare le pathlines per flussi costanti nel tempo, a partire da punti iniziali definiti in un livello puntuale. Il loro tragitto permette di evidenziare le zone in cui i flussi convergono o divergono, per esempio a causa di ostacoli come evidente nell'immagine sottostante. Utilizzando le pathlines è anche possibile stimare lo spostamento nel corso del tempo.
Nell'immagine sottostante si nota che i tracciati delineati sono percorsi in intervalli temporali compresi fra circa 200 e 300 anni, a seconda dei differenti  settori.

Pathlines a partire dai punti specificati in alto a sinistra, assumendo flussi costanti durante l'intervallo considerato (compreso tra 200 e 300 anni). 

Un esempio di analisi di campo vettoriale con software open source: il ghiacciaio David (Antartide orientale)

Post di Mauro Alberti alberti.m65@gmail.com e Debbie Biscaro debbiemail@libero.it

I campi vettoriali possono essere utili per descrivere flussi glaciali, idrici o spostamenti di volumi rocciosi. Purtroppo questo tipo di dati non sono ancora trattati esplicitamente dai software GIS. Con qualche escamotage possono essere processati parzialmente, a differenza della ricchezza di funzioni di software come Paraview, VisIt o Matlab. Linguaggi come Python, ricchi di funzioni numeriche e con interfacce a librerie GIS standard, consentono di ovviare in parte a queste limitazioni e lavorare direttamente su formati dati tipici dei GIS. I risultati possono essere visualizzati negli stessi software GIS o in Paraview e simili.

In questo post presentiamo uno script Python per il calcolo dei parametri vettoriali (rotore, divergenza,  accelerazione lungo le linee di flusso) di un campo 2D e lo applichiamo ad un caso naturale di flussi glaciali in Antartide. Lo script fa parte di un set di tool in Python per l'analisi di flussi glaciali e non necessita di specifici software GIS.


Parametri vettoriali

Divergenza e rotore sono due operatori vettoriali molto utilizzati in fisica e ingegneria. Questi due operatori corrispondono all'applicazione su di un campo vettoriale dell'operatore differenziale nabla:

La divergenza è un valore scalare derivato dal prodotto scalare tra nabla e il campo vettoriale nell'intorno di un punto (x,y,z) derivabile:

Valori positivi di divergenza indicano un flusso che tende ad espandersi (pensiamo all'aria riscaldata che si dilata), mentre valori negativi un flusso che tende a convergere e a comprimersi.

Il rotore è un vettore derivante dal prodotto vettoriale tra nabla e campo vettoriale:

Esso esprime la componente rotazionale dei flussi.

Per dati bidimensionali, come avviene frequentemente per i GIS, le due formule sovrastanti si semplificano. Per la divergenza si considereranno le sole derivate parziali rispetto a x e y. Per il rotore si avrà un vettore costantemente verticale (parallelo a k), il cui modulo sarà dato dall'ultima componente della formula precedente. L'unico parametro di interesse sarà quindi il modulo del rotore. Il segno associato al modulo sarà positivo per rotazioni in senso anti-orario e negativo per rotazioni in senso orario. Valori nulli del modulo indicheranno flussi che non ruotano.

Un altro parametro di possibile interesse è l'entità delle accelerazioni lungo le linee di flusso. Per calcolare questo parametro, utilizziamo una formula modificata per la determinazione della pendenza direzionale da un DEM (Neteler & Mitasova, 2008, eq. A.27):

dove alpha rappresenta l'orientazione locale della linea di flusso che è facilmente derivabile da vx e vy. Il risultato è un campo scalare.


Implementazione e uso dello script Python

Script: curl_div_acc_03.py

Con questo script è possibile leggere i valori delle componenti cartesiane di un campo vettoriale 2D da due grid e determinare divergenza, rotore ed accelerazioni lungo i flussi sfruttando la funzione gradient presente nel package numpy che calcola le derivate parziali lungo gli assi cartesiani. I dati vengono esportati sia nel formato Arc/Info ASCII grid, in maniera da poterli importare in GIS come Quantum GIS o Saga, sia nel formato VTK per processamenti in Paraview o VisIt.

Lo script Python è stato sviluppato e testato con Python 2.6 all'interno dell'ambiente Python (x,y) per Windows. Richiede numpy come modulo Python (presente di default in Python (x,y)). Viene rilasciato con licenza GPL v. 3.

Un esempio di lancio dello script dal command prompt è:
  python curl_div_acc_03.py par.txt
dove par.txt è un file testuale che contiene i parametri di input ed output dell'analisi in sei differenti righe, esempio:
velxclp.asc // ascii grid with x cartesian components of vector field
velycl.asc // ascii grid with y cartesian components of vector field
div.asc // ascii grid with divergence values (output)
curl.asc // ascii grid with curl magnitudes (output)
acc.asc // ascii grid with acceleration values (output)
result.vtk // vtk file storing all input and output data (output)

Il suo input è costituito da due grid che conservano le componenti x e y del campo vettoriale, in formato ARC/INFO ASCII . Produce in output tre grid in formato ARC/INFO ASCII, che contengono la divergenza, il modulo del rotore e l'accelerazione lungo le linee di flusso, oltre ad un file in formato VTK, in cui oltre al campo vettoriale originario, sono conservate divergenza, modulo del rotore e accelerazione.


Esempio di analisi: la parte terminale del ghiacciaio David (Terra Vittoria settentrionale, Antartide)

Consideriamo ora un esempio di analisi di un flusso vettoriale, in cui consideriamo le velocità di flusso del ghiacciaio David, in Antartide, in corrispondenza della sua zona di disancoraggio dal substrato roccioso.

I dati dei flussi derivano da Biscaro (2010), tesi di dottorato della quale potete leggere l'abstract (in inglese).
I dati di partenza sono costituiti da una coppia di immagini Landsat, rispettivamente del 2001 e 2003 (intervallo temporale di 400 giorni fra le due), fra loro co-registrate.
I flussi sono stati derivati con il software libero IMCORR (Scambos et al., 1992), che si basa su tecniche di cross-correlation tra una coppia di immagini co-registrate per derivare gli spostamenti glaciali relativi.
I risultati prodotti da IMCORR sono stati validati e ne sono stati rimossi, per quanto possibile, gli errori di co-registrazione delle due immagini. Nei risultati sono quindi presenti zone prive di valori.
Per il calcolo dei parametri vettoriali di questi flussi, lo script Python richiede grid continui.  E' stato quindi ricostruito un campo vettoriale continuo interpolando separatamente le due componenti cartesiane del campo. Il metodo di interpolazione scelto è il Regularised Spline with Tension and Smoothing (RSTS) di Mitasova & Mitas (1993) e Mitasova et al. (1995), implementato in GRASS.  Essendo una tecnica spline, appare adatta per superfici relativamente liscie e prive di asperità. Consente di incorporare un fattore di smoothing che regola il grado con cui i valori originali vengono rispettati nell'interpolazione, utile per misure che incorporano errori.
I parametri di interpolazione scelti per questo esempio sono quelli risultati ottimali per la vicina zona del Reeves Glacier (analizzata nell'articolo sottoposto): tensione uguale a 100 e smoothing di 0.1. Come si vedrà dall'analisi dei parametri vettoriali risultanti, la tecnica ed i parametri usati per questa zona non sono completamente ottimali e dovrebbero essere riconsiderati per migliorare la qualità delle interpolazioni risultanti.
I due grid interpolati delle velocità lungo gli assi x e y hanno costituito il dataset di input per lo script Python. I risultati sono stati analizzati e visualizzati con Mirone, Quantum GIS e ParaView.

Presentiamo ora alcuni aspetti dei risultati che riteniamo di interesse.

La semplice visualizzazione delle magnitudini delle velocità evidenzia la presenza  nella porzione orientale di un ostacolo roccioso sub-glaciale che suddivide e devia i flussi del ghiacciaio David in un ramo principale meridionale ed uno secondario settentrionale. I flussi, orientati da oriente verso occidente (verso destra nelle figure sottostanti) proseguono con elevate velocità nel corpo principale del ghiacciaio che va a costituire la lingua glaciale Drygalski.

Mappa delle velocità interpolate, sovrapposte a mosaico satellitare Landsat. Le velocità più elevate delineano l'andamento del ghiacciaio David, che scorre da Ovest verso Est (verso la destra in figura). Le velocità sono in metri per un periodo di 400 giorni (2001-2003). I cerchi rappresentano le misure originarie prodotte da IMCORR  e con valori ritenuti validi. Figura creata con Mirone e Quantum GIS.

La magnitudine del rotore evidenzia zone di forti rotazioni nelle direzioni dei flussi, evidenziate anche dalle lineazioni di flusso glaciale. Si ricorda che valori positivi indicano rotazioni anti-orarie, mentre quelli negativi rotazioni in senso orario. Poichè queste variazioni sono legate all'andamento degli ostacoli nel substrato roccioso, la mappa della magnitudine del rotore esalta le principali variazioni di quest'ultimo. Esse risultano collocate in corrispondenza dell'ostacolo a sinistra, e della fascia sub-orizzontale che limita il bordo sinistro del ghiacciaio David. Nel resto della zona, i flussi tendono ad esere irrotazionali.

Mappa della magnitudine del rotore, sovrapposta ad immagine satellitare Landsat.
Creata con Mirone e Quantum GIS.

Analizzando le mappe delle divergenze e accelerazioni si riconoscono artefatti che suggeriscono una qualità non ottimale delle interpolazioni effettuate.
Osserviamo infatti che alcune variazioni nei parametri ricavati sono localizzate in corrispondenza dei margini delle zone con dati validi, il che fa ritenere che le variazioni naturali vengano “attratte” verso questi limiti artificiali. In altri casi, la tecnica spline potrebbe avere originato zone con valori estremi dei parametri vettoriali, sia massimi sia minimi, che non sembrano essere richiesti dai dati originari.

La mappa delle accelerazioni lungo i flussi è illustrata nella figura seguente. Notiamo nella porzione orientale la stretta corrispondenza tra variazioni dell'accelerazione e e limiti dei dati di velocità validi. Altre variazioni rappresentano probabilmente effetti naturali. Si tratta per esempio della fascia di variazioni lungo il bordo sinistro del ghiacciaio David e di quelle nella porzione nord-occidentale della mappa.

Mappa delle accelerazioni, sovrapposta al mosaico satellitare Landsat.
I cerchi rappresentano le misure originarie. Creata con Mirone e Quantum GIS.

La zona orientale presenta molti artefatti, come è visibile nella mappa sottostante della divergenza. Le brusche variazioni di valori tendano ad essere generate e/o attratte verso i limiti nel campionamento. Dove le osservazioni sono discontinue (porzione superiore della figura sottostante) l'interpolazione sembra avere prodotto delle coppie artificiali massimi-minimi.

Particolare della zona orientale per il parametro divergenza. Si riconosce l'influenza della distribuzione dei punti di misura disponibile sui valori di divergenza risultanti. Creata con Quantum GIS.

Gli operatori che si basano su differenze sono molto sensibili a rumori nel segnale analizzato. Come si vede dagli esempi precedenti, tendono anche ad enfatizzare strutture legate al processamento dei dati, come la distribuzione delle misure note usate nell'interpolazione. Nel caso di vettori, l'interpolazione è stata effettuata due volte, sulle due componenti cartesiane, e quindi è presumibile che l'effetto sia stato maggiormente enfatizzato.
Come regola generale, nelle analisi di dati geografici è importante poter confrontare i risultati di analisi con la distribuzione spaziale delle misure originarie, in maniera tale da discriminare la natura dei risultati ottenuti.


Qual'è il grado di affidabilità delle direzioni di flusso dedotte?

Dal campo vettoriale è possibile ricostruire le linee di flusso tramite il  metodo di Runge-Kutta, implementato in Paraview. La validità nella delineazione nei flussi risultanti dall'interpolazione può essere testata confrontando con le linee di flusso evidenti nelle immagini satellitari. Nel caso specifico le strutture glaciali nella zona circostante l'ostacolo subglaciale permettono di riconoscere un accettabile grado di congruenza a grande scala tra campo vettoriale ricostruito e strutture glaciali. 

Linee di flusso determinate dal campo vettoriale interpolato con il metodo di Runge-Kutta, implementato in Paraview. I flussi glaciali sono diretti da sinistra verso destra.

Analizzando nel dettaglio la zona che presenta le maggiori variazioni di direzioni, quella orientale, notiamo che la corrispondenza non è comunque ideale. Anche in questo caso una ricerca più approfondita di metodi e parametri di interpolazione ottimali potrebbero produrre risultati di migliore qualità.

Particolare della zona investigata in cui si riconoscono differenze nelle linee di flusso ricostruite dal campo interpolato (linee in rosso) e lineazioni glaciali che suggeriscono i flussi glaciali nell'immagine satellitare Landsat. Mappa in Paraview.

Bibliografia

Biscaro, 2010. Applicazioni di metodi di telerilevamento per lo studio dei ghiacciai di Terra Nova Bay e della Cook Ice Shelf, Antartide orientale (Applications of remote sensing methods to the study of Terra Nova Bay and Cook Ice Shelf glaciers, Eastern Antarctica). Ph.D. Dissertation, Siena University, Italy, 173 pp.

Mitasova, H., Mitas, L., 1993. Interpolation by Regularised Spline with Tension: I. Theory and implementation. Mathematical Geology 25, 641-655.

Mitasova, H., Mitas, L., Brown, B.M., Gerdes, D.P., Kosinovsky, I., 1995. Modeling Spatially and Temporally Distributed Phenomena: New Methods and Tools for GRASS GIS. International Journal of GIS 9, Special Issue on Integration of Environmental Modeling and GIS, 443-446.

Neteler, M., Mitasova, H., 2008. Open Source GIS: A GRASS GIS Approach. Springer, Berlin, DE, 406 pp.

Scambos, T. A., Dutkiewicz, M. J., Wilson, J. C., Bindschadler, R. A., 1992. Application of image cross-correlation to the measurement of glacier velocity using satellite image data. Remote Sensing of Environment 42, 177-186.